Question

已知點(2，2

3

)在雙曲線M：

x2

m2

-

y2

n2

=1(m＞0，n＞0)上，圓C：（x-a）²+（y-b）²=r²（a＞0，b∈R，r＞0）與雙曲線M的一條漸近線相切于點（1，2），且圓C被x軸截得的弦長為4．
（Ⅰ）求雙曲線M的方程；
（Ⅱ）求圓C的方程；
（Ⅲ）過圓C內一定點Q（s，t）（不同于點C）任作一條直線與圓C相交于點A、B，以A、B為切點分別作圓C的切線PA、PB，求證：點P在定直線l上，并求出直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由點(2，2

3

)在雙曲線M：

x2

m2

-

y2

n2

=1(m＞0，n＞0)上，點（1，2）在雙曲線M的一條漸近線上，建立方程組，即可求得雙曲線M的方程；
（Ⅱ）利用圓C：（x-a）²+（y-b）²=r²（a＞0，b∈R，r＞0）與雙曲線M的一條漸近線相切于點（1，2），且圓C被x軸截得的弦長為4，建立方程組，即可求得圓C的方程；
（Ⅲ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則求出在點A、點B的切線方程，兩方程相減，利用Q，A，B三點共線，化簡，即可得到結論．

解答：（Ⅰ）解：由題意，點(2，2

3

)在雙曲線M：

x2

m2

-

y2

n2

=1(m＞0，n＞0)上，點（1，2）在雙曲線M的一條漸近線上，則

4 m2 - 12 n2 =1 1 m - 2 n =0

，∴m=1，n=2，∴雙曲線M的方程為x2-

y2

4

=1；
（Ⅱ）解：∵圓C：（x-a）²+（y-b）²=r²（a＞0，b∈R，r＞0）與雙曲線M的一條漸近線相切于點（1，2），且圓C被x軸截得的弦長為4
∴

|2a-b| 5 =r b2+4=r2 (1-a)2+(2-b)2=r2

∴a=3，b=1，r=

5

∴圓C的方程為（x-3）²+（y-1）²=5；
（Ⅲ）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則在點A的切線方程為（x₁-3）（x-3）+（y₁-1）（y-1）=5
在點B的切線方程為（x₂-3）（x-3）+（y₂-1）（y-1）=5
兩方程相減可得（x₁-x₂）（x-3）+（y₁-y₂）（y-1）=0
∵Q，A，B三點共線
∴（x₁-x₂）（t-y₁）-（y₁-y₂）（s-x₁）=0
∴（x₁-s）（x-3）+（y₁-t）（y-1）=0
∴（x₁-3+3-s）（x-3）+（y₁-1+1-t）（y-1）=0
∴（3-s）（x-3）+（1-t）（y-1）+（x₁-3）（x-3）+（y₁-1）（y-1）=0
∴（s-3）x+（t-1）y-3s-t+5=0
∴點P在定直線l上，直線l的方程為（s-3）x+（t-1）y-3s-t+5=0．

點評：本題考查雙曲線、圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查直線方程，綜合性強，屬于中檔題．