Question

（2012•梅州一模）如圖，梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，∠CBA=∠BAD=90°，沿對角線AC將△ABC折起，使點B在平面ACD內的射影O恰在AC上．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面BCD；
（Ⅱ）求異面直線BC與AD所成的角；
（Ⅲ）求二面角B-AD-C的余弦值．

Answer 1

分析：解法1：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，利用向量的方法證明

AB

•

CD

=0，可得AB⊥CD，再利用AB⊥BC，可得AB⊥平面BCD；
（Ⅱ）求出

BC

=(-

2

2

，0，-

2

2

)，

AD

=(-

2

，

2

，0)，利用向量夾角公式，可求異面直線BC與AD所成的角；
（Ⅲ）求出平面ACD的法向量

OB

=(0，0，

2

2

)，平面ABD的法向量

n

=(1，1，1)，利用向量夾角公式，可求二面角B-AD-C的平面角；
解法2：（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理證明AB⊥平面BCD；
（Ⅱ）取CD中點E，AB中點F，連OE，OF，EF，則可得∠EOF或其補角為AD，BC所成的角．在△EOF中，利用余弦定理可求異面直線BC與AD所成的角；
（Ⅲ）過O作OG⊥AD于G，連BG，則∠OGB為所求二面角的平面角，在Rt△OGB中可求．

解答：解法1：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AC=DC=

2

，AD=2，∴AC²+DC²=AD²，∴AC⊥DC．
又BO⊥平面ACD，AC?平面ACD，∴BO⊥AC，又AB=CB，∴O為AC中點．
以O為坐標原點，以OA，OB所在直線分別為x，z軸，以過O且平行于CD的直線為y軸建立空間直角坐標系．…（3分）
則A(

2

2

，0，0)，B(0，0，

2

2

)，C(-

2

2

，0，0)，D(-

2

2

，

2

，0)，
∴

AB

=(-

2

2

，0，

2

2

)，

CD

=(0，

2

，0)，∴

AB

•

CD

=0，∴AB⊥CD，
又AB⊥BC，BC∩CD=C，∴AB⊥平面BCD．…（6分）
（Ⅱ）∵

BC

=(-

2

2

，0，-

2

2

)，

AD

=(-

2

，

2

，0)，∴cos＜

AD

，

BC

＞=

1

2

，
∴＜

AD

，

BC

＞=60°，即異面直線BC與AD所成的角為60°．…（9分）
（Ⅲ）平面ACD的法向量為

OB

=(0，0，

2

2

)．
設平面ABD的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • AB =0 n • AD =0

，即

- 2 2 x+ 2 2 z=0 - 2 x+ 2 y=0

，解得

x=z y=z

，
取z=1，∴

n

=(1，1，1)．
設二面角B-AD-C的平面角為θ，則cosθ=

OB • n

| OB || n |

=

2 2

2 2 × 3

=

3

3

．…（12分）
解法2：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AC=DC=

2

，AD=2，∴AC²+DC²=AD²，∴AC⊥DC．
又BO⊥平面ACD，∴AB⊥CD，又AB⊥BC，BC∩CD=C，∴AB⊥平面BCD…（4分）
（Ⅱ）∵BA=BC，BO⊥AC，∴O為AC中點．
取CD中點E，AB中點F，連OE，OF，EF，則OE∥AD，OF∥BC，

∴∠EOF或其補角為AD，BC所成的角．
作FH∥BO交AC于H，連HE，則FH⊥平面ACD，
∴EF2=FH2+EH2=FH2+HC2+EC2=(

2

4

)2+(

3 2

4

)2+(

2

2

)2=

7

4

，
在△EOF中，∵FO=

1

2

，EO=2，∴cos∠EOF=

FO2+EO2-EF2

2EO•FO

=-

1

2

，
∴∠EOF=120°，故異面直線BC與AD所成的角為60°．…（8分）
（Ⅲ）過O作OG⊥AD于G，連BG，則∠OGB為所求二面角的平面角．
Rt△OGB中，OB=

2

2

，OG=

1

2

，BG=

3

2

，∴cos∠OGB=

3

3

．…（12分）

點評：本題考查線面垂直，考查線線角，考查面面角，考查傳統方法與向量方法的結合，屬于中檔題．