Question

設m，n為非零實數，i為虛數單位，z∈C，則方程|z+ni|+|z-mi|=n與|z+ni|-|z-mi|=-m在同一復平面內的圖形（F₁，F₂為焦點）是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：設F₁（0，-n），F₂（0，m），由題意得F₁（0，-n）在y軸負半軸，根據復數的幾何意義得|z+ni|=|PF₁|且|z-mi|=|PF₂|，
所以第一個方程表示到F₁、F₂距離之和等于常數的點的軌跡；第二個方程表示到F₁、F₂距離之差等于常數的點的軌跡．由此結合橢圓曲線的第一定義，可得本題的答案．

解答：解：設F₁（0，-n），F₂（0，m）
∵方程|z+ni|+|z-mi|=n＞0，
∴F₁（0，-n）在y軸負半軸，
設z對應復平面內點P（x，y），則|z+ni|=|PF₁|，|z-mi|=|PF₂|，
方程|z+ni|+|z-mi|=n即|PF₁|+|PF₂|=n（定值），表示以F₁、F₂為焦點的橢圓；
方程|z+ni|-|z-mi|=-m即|PF₁|-|PF₂|=-m（定值），
當m＞0時，表示以F₁、F₂為焦點的雙曲線靠近F₁的一支，當m＜0時，表示以F₁、F₂為焦點的雙曲線靠近F₂的一支
因此，對照各個選項可知只有C符合題．
故選：C

點評：本題給出復數方程，要我們找出適合方程的圖形，著重考查了復數的幾何意義和圓錐曲線的定義等知識，屬于基礎題．