Question

設f（x）=（4^x+4^-x）-a（2^x+2^-x）+a+2（a為常數）
（1）當a=-2時，求f（x）最小值
（2）求所有使f（x）的值域為[-1，+∞）的a的值．

Answer 1

分析：（1）利用換元法將函數轉化為關于t的一元二次函數，利用二次函數的圖象和性質進行求解即可．
（2）根據二次函數的圖象和性質，建立值域關系即可求出a的值．

解答：解：設t=2^x+2^-x，則t≥2，則4^x+4^-x=t²-2，
∴f（x）=（4^x+4^-x）-a（2^x+2^-x）+a+2等價為y=g（t）=t²-2-at+a+2=t²-at+a．
（1）若a=-2，則y=g（t）=t²+2t-2=（t+1）²-3，
∵t≥2，
∴g（t）在[2，+∞）上單調遞增，
∴當t=2時，函數取得最小值g（2）=4+4-2=6．
（2）要使f（x）的值域為[-1，+∞），
則函數g（t）的最小值為-1，
即

4a-(-a)2

4

=

a2+4a

4

=-1，
即a²+4a+4=0，
∴（a+2）²=0，
解得a=-2．

點評：本題主要考查二次函數的圖象和性質，利用換元法將函數轉化為二次函數是解決本題的關鍵，要求熟練掌握二次函數的圖象和性質．