Question

定義在（0，+∞）上函數f（x）滿足f（x）+f（y）=f（xy），且當x＞1時，f（x）＜0，若不等式對任意x，y∈（0，+∞）恒成立，則實數a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據條件證明函數f（x）在（0，+∞）上單調性，然后化簡不等式，根據≥恒成立建立關系式即可．
解答：解：設x₁＞x₂＞0，則＞1
∵f（x）+f（y）=f（xy），
∴f（x）-f（y）=f（），
f（x₁）-f（x₂）=f（）＜0（x＞1時，f（x）＜0）
∴函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減函數
∵
∴f（）≤f（a）
即≥a
≥≥a
∴a
故答案為：0＜a
點評：本題主要考查抽象函數的單調性以及不等式的應用，屬于中檔題，單調性是函數的“局部”性質．