Question

【題目】已知點是拋物線的焦點，是其準線上任意一點，過點作直線，與拋物線相切，，為切點，，與軸分別交于，兩點．

（1）求焦點的坐標，并證明直線過點；

（2）求四邊形面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1），證明見解析；（2）3

【解析】

（1）由點斜式設出直線的直線方程，再由在上，得出直線的方程，從而證明直線過點；

（2）將直線的方程與拋物線方程聯立，結合韋達定理，拋物線的性質，點到直線的距離公式得出，，再由四邊形的面積，結合導數得出四邊形面積的最小值．

（1）由題意可知

設，則即

同理.

又在上,則,所以

所以直線過焦點F.

（2）由（1）知,代入得

則

則

到AB的距離,所以

由（1）知,則

所以,令

則四邊形的面積

設，

當時，

即函數在上是增函數

則四邊形面積的最小值為3