Question

已知函數f（x）=x|x-a|-lnx．
（1）若a=1，求函數f（x）在區間[1，e]的最大值；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，利用導數可判斷f（x）在[1，e]上的單調性，由單調性即可求得其最大值；
（2）求出f（x）的定義域，先按（ⅰ）a≤0，（ⅱ）a＞0兩種情況進行討論，其中a＞0時討論去絕對值符號，利用導數符號即可判斷單調性；
（3）函數f（x）的定義域為x∈（0，+∞），f（x）＞0，即|x-a|＞

lnx

x

．根據

lnx

x

的符號對x進行分類討論：x∈（0，1）時，當x=1時，當x＞1時，其中x＞1時去掉絕對值符號轉化為求函數最值即可解決．

解答：解：（1）若a=1，則f（x）=x|x-1|-lnx．
當x∈[1，e]時，f（x）=x²-x-lnx，
f′(x)=2x-1-

1

x

=

2x2-x-1

x

＞0，
所以f（x）在[1，e]上單調增，
∴f(x)max=f(e)=e2-e-1．
（2）由于f（x）=x|x-a|-lnx，x∈（0，+∞）．
（ⅰ）當a≤0時，則f（x）=x²-ax-lnx，
f′(x)=2x-a-

1

x

=

2x2-ax-1

x

，
令f′（x）=0，得x0=

a+ a2+8

4

＞0（負根舍去），
且當x∈（0，x₀）時，f′（x）＜0；當x∈（x₀，+∞）時，f′（x）＞0，
所以f（x）在(0，

a+ a2+8

4

)上單調遞減，在(

a+ a2+8

4

，+∞)上單調遞增．
（ⅱ）當a＞0時，
①當x≥a時，f′(x)=2x-a-

1

x

=

2x2-ax-1

x

，
令f′（x）=0，得x1=

a+ a2+8

4

（x=

a- a2+8

4

＜a舍），
若

a+ a2+8

4

≤a，即a≥1，則f′（x）≥0，
所以f（x）在（a，+∞）上單調增；
若

a+ a2+8

4

＞a，即0＜a＜1，則當x∈（0，x₁）時，f′（x）＜0；當x∈（x₁，+∞）時，f′（x）＞0，
所以f（x）在區間(0，

a+ a2+8

4

)上是單調減，在(

a+ a2+8

4

，+∞)上單調增．
②當0＜x＜a時，f′(x)=-2x+a-

1

x

=

-2x2+ax-1

x

，
令f′（x）=0，得-2x²+ax-1=0，記△=a²-8，
若△=a²-8≤0，即0＜a≤2

2

，則f′（x）≤0，
故f（x）在（0，a）上單調減；
若△=a²-8＞0，即a＞2

2

，
則由f′（x）=0得x3=

a- a2-8

4

，x4=

a+ a2-8

4

，且0＜x₃＜x₄＜a，
當x∈（0，x₃）時，f′（x）＜0；當x∈（x₃，x₄）時，f′（x）＞0；當x∈（x₄，+∞）時，f′（x）＞0，
所以f（x）在區間(0，

a- a2-8

4

)上是單調減，在(

a- a2-8

4

，

a+ a2-8

4

)上單調增；在(

a+ a2-8

4

，+∞)上單調減．
綜上所述，當a＜1時，f（x）的單調遞減區間是(0，

a+ a2+8

4

)，單調遞增區間是(

a+ a2+8

4

，+∞)；
當1≤a≤2

2

時，f（x）單調遞減區間是（0，a），單調的遞增區間是（a，+∞）；
當a＞2

2

時，f（x）單調遞減區間是（0，

a- a2-8

4

）和(

a+ a2-8

4

，a)，單調的遞增區間是(

a- a2-8

4

，

a+ a2-8

4

)和（a，+∞）．
（3）函數f（x）的定義域為x∈（0，+∞）．
由f（x）＞0，得|x-a|＞

lnx

x

．*
（ⅰ）當x∈（0，1）時，|x-a|≥0，

lnx

x

＜0，不等式*恒成立，所以a∈R；
（ⅱ）當x=1時，|1-a|≥0，

lnx

x

=0，所以a≠1；       
（ⅲ）當x＞1時，不等式*恒成立等價于a＜x-

lnx

x

恒成立或a＞x+

lnx

x

恒成立．
令h(x)=x-

lnx

x

，則h′(x)=

x2-1+lnx

x2

．
因為x＞1，所以h'（x）＞0，從而h（x）＞1．
因為a＜x-

lnx

x

恒成立等價于a＜（h（x））_min，所以a≤1．
令g(x)=x+

lnx

x

，則g′(x)=

x2+1-lnx

x2

．
再令e（x）=x²+1-lnx，則e′(x)=2x-

1

x

＞0在x∈（1，+∞）上恒成立，e（x）在x∈（1，+∞）上無最大值．
綜上所述，滿足條件的a的取值范圍是（-∞，1）．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、求函數在閉區間上的最值及函數恒成立問題，考查分類討論思想，考查學生分析問題解決問題的能力，綜合性強，難度大，對能力要求較高．