Question

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，左焦點(diǎn)為F，A，B，C為其三個(gè)頂點(diǎn)，直線(xiàn)CF與AB交于D，則tan∠BDC的值等于（　�。�

• A、3

  3

• B、

  3

  5

• C、-

  3

  5

• D、-3

  3

Answer 1

分析：根據(jù)離心率的值求出

b

a

和

b

c

  的值，求得tan∠BAO=

BO

AO

=

b

a

的值，再求出tan∠OFC=

OC

OF

=

b

c

的值，
代入tan∠BDC=tan（∠BAO+∠OFC） 進(jìn)行運(yùn)算．

解答：解：∵離心率e=

1

2

，∴

b

a

=

a2-c2

a

=

1-e2

=

3

2

，

b

c

=

b

1 2 a

=

3

．
由圖可知，tan∠BDC=tan（∠BAO+∠OFC），∴tan∠BAO=

BO

AO

=

b

a

=

3

2

，
tan∠OFC=

OC

OF

=

b

c

=

3

，代入公式即得
tan∠BDC=tan（∠BAO+∠OFC）=

tan∠BAO+tan ∠OFC

1-tan∠BAO•tan ∠OFC

=-3

3

，
故選 D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，兩角和差的正切函數(shù)，判斷tan∠BDC=tan（∠BAO+∠OFC），是解題的難點(diǎn)和
關(guān)鍵．