Question

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，, 點是的中點，，且交于點 .

  （I） 求證： 平面；

   （II） 求二面角的余弦值大小；

   （III）求證：平面⊥平面.

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析（II）二面角的余弦值為．（III）證明見解析

解析:

（Ⅰ）證明：連結交于，連結.

是正方形，∴ 是的中點. ----------1分

是的中點， ∴是的中位線.  ∴.  ----------2分

 又∵平面， 平面， ----------3分

∴平面.------------------4分

（II）如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，

由故設，則

.  ----------6分

底面，

∴是平面的法向量，．----------7分

設平面的法向量為,

,

則  即 

 ∴     令,則.  ----------9分

∴,

∴二面角的余弦值為． ------------------10分

（III）， ，

----------11分

   又且.----------12分

.  又平面    ----------13分

 ∴平面⊥平面.     ------------------14分