Question

已知函數f（x）=C_nx^2n-1-C_n¹x²ⁿ+C_n¹x²ⁿ⁺¹-…+C_n^r（-1）^rx^2n-1+r+…+C_nⁿx^3n-1，其中n（n∈N₊）．
（1）求函數f（x）的極大值和極小值；
（2）設函數f（x）取得極大值時x=a_n，令b_n=2-3a_n，S_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，若p≤S_n＜q對一切n∈N₊恒成立，求實數p和q的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二項式定理化簡f（x），求出導函數，令導函數為0求根，判斷根兩側的導函數符號，求出極值．
（2）利用數列的求和方法：裂項法求出S_n，求出S_n的范圍即為p，q值．
解答：解：（1）f（x）=x^2n-1[C_n-C_n¹x+C_n²x²-+C_n^r（-1）^rx^r+C_nⁿxⁿ]=x^2n-1（1-x）ⁿ，
f'（x）=（2n-1）x^2n-2（1-x）ⁿ-x^2n-1•n（1-x）^n-1=x^2n-2（1-x）^n-1[2n-1-（3n-1）x]．
令f'（x）=0，從而x₁＜x₂＜x₃．當n為偶數時f（x）的增減如下表

所以當x=時，y_極大=；當x=1時，y_極小=0．
當n為奇數時f（x）的增減如下表

所以當x=時，y_極大=．
（2）由（1）知f（x）在x=時取得最大值．所以a_n=，b_n=2-3a_n=，=．，∴，即；
所以實數p和q的取值范圍分別是，．
點評：本題考查，二項式定理；利用導數求函數的單調性，極值；利用裂項法求數列的和；求函數的值域等