Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²+bx，函數g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行于x軸．
（1）確定a與b的關系；
（2）若a≥0，試討論函數g（x）的單調性；
（3）設斜率為k的直線與函數f（x）的圖象交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂）
證明：

1

x2

＜k＜

1

x1

．

Answer 1

（1）依題意得g（x）=lnx+ax²+bx，則g′(x)=

1

x

+2ax+b，
由函數g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行于x軸得：g'（1）=1+2a+b=0，
∴b=-2a-1．
（2）由（1）得g′(x)=

2ax2-(2a+1)x+1

x

=

(2ax-1)(x-1)

x

．
∵函數g（x）的定義域為（0，+∞），∴當a=0時，g′(x)=-

x-1

x

，
由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，
即函數g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）單調遞減；
當a＞0時，令g'（x）=0得x=1或x=

1

2a

，
若

1

2a

＜1，即a＞

1

2

時，由g'（x）＞0得x＞1或0＜x＜

1

2a

，由g'（x）＜0得

1

2a

＜x＜1，
即函數g（x）在(0，

1

2a

)，（1，+∞）上單調遞增，在(

1

2a

，1)單調遞減；
若

1

2a

＞1，即0＜a＜

1

2

時，由g'（x）＞0得x＞

1

2a

或0＜x＜1，由g'（x）＜0得1＜x＜

1

2a

，
即函數g（x）在（0，1），(

1

2a

，+∞)上單調遞增，在(1，

1

2a

)單調遞減；
若

1

2a

=1，即a=

1

2

時，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0，
即函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
綜上得：當a=0時，函數g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）單調遞減；
當0＜a＜

1

2

時，函數g（x）在（0，1）單調遞增，在(1，

1

2a

)單調遞減；在(

1

2a

，+∞)上單調遞增；
當a=

1

2

時，函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
當a＞

1

2

時，函數g（x）在(0，

1

2a

)上單調遞增，在(

1

2a

，1)單調遞減；在（1，+∞）上單調遞增．
（3）證法一：依題意得k=

y2-y1

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

，
證

1

x2

＜k＜

1

x1

，即證

1

x2

＜

lnx2-lnx1

x2-x1

＜

1

x1

，因x₂-x₁＞0，即證

x2-x1

x2

＜ln

x2

x1

＜

x2-x1

x1

，
令

x2

x1

=t（t＞1），即證1-

1

t

＜lnt＜t-1（t＞1），
令h(t)=lnt+

1

t

-1（t＞1），則h′(t)=

1

t

-

1

t2

=

t-1

t2

＞0，∴h（t）在（1，+∞）上單調遞增，
∴h（t）＞h（1）=0，即lnt＞1-

1

t

（t＞1）②
綜合①②得1-

1

t

＜lnt＜t-1（t＞1），即

1

x2

＜k＜

1

x1

．
證法二：依題意得k=

y2-y1

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

?lnx2-kx2=lnx1-kx1，
令h（x）=lnx-kx，則h′(x)=

1

x

-k，
由h'（x）=0得x=

1

k

，當x＞

1

k

時，h'（x）＜0，當0＜x＜

1

k

時，h'（x）＞0，
∴h（x）在(0，

1

k

)單調遞增，在(

1

k

，+∞)單調遞減，又h（x₁）=h（x₂），
∴x1＜

1

k

＜x2，即

1

x2

＜k＜

1

x1

．
證法三：令h(x)=lnx-

x

x1

，則h′(x)=

1

x

-

1

x1

，
當x＞x₁時，h'（x）＜0，∴函數h（x）在（x₁，+∞）單調遞減，
∴當x₂＞x₁時，h(x2)＜h(x1)?lnx2-

x2

x1

＜lnx1-1，即

lnx2-lnx1

x2-x1

＜

1

x1

；
同理，令m(x)=lnx-

x

x2

，可證得

1

x2

＜

lnx2-lnx1

x2-x1

．
證法四：依題意得k=

y2-y1

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

，

1

x2

＜k＜

1

x1

 ?

1

x2

＜

lnx2-lnx1

x2-x1

＜

1

x1

?x1lnx2-x1lnx1＜x2-x1＜x2lnx2-x2lnx1
令h（x）=x-x₁lnx+x₁lnx₁-x₁，則h′(x)=1-

x1

x

，當x＞x₁時，h'（x）＞0，∴函數h（x）在（x₁，+∞）單調遞增，
∴當x₂＞x₁時，h（x₂）＞h（x₁）=0，即x₁lnx₂-x₁lnx₁＜x₂-x₁
令m（x）=x-x₂lnx+x₂lnx₂-x₂，則m′(x)=1-

x2

x

，當x＜x₂時，m'（x）＜0，∴函數m（x）在（0，x₂）單調遞減，
∴當x₁＜x₂時，m（x₁）＞h（x₂）=0，即x₂-x₁＜x₂lnx₂-x₂lnx₁；
所以命題得證．