Question

設全集為U=R，集合A為函數f(x)=

x+1

+lg(3-x)-1的定義域，B={x|2x-4≥x-2}
（1）求A∪B，?_U（A∩B）
（2）若集合C={x|2x+a＞0}，滿足B∪C=C，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由二次根式的被開方數大于或等于0和對數的真數大于0，解不等式組得到集合A=[-1，3），結合集合B=[2，+∞）算出A∩B=[2，3），A∪B=[-1，+∞），再由全集補集的含義可求出?_U（A∩B）的值．
（2）根據并集的性質得B?C，然后解出C=（-

a

2

，+∞），結合（1）中求出的集合B，建立關于a的不等式，解之即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：（1）解不等式組

x+1≥0 3-x＞0

，得-1≤x＜3，
∴f(x)=

x+1

+lg(3-x)-1的定義域A=[-1，3），
又∵集合B={x|2x-4≥x-2}=[2，+∞），
∴A∩B=[2，3），A∪B=[-1，+∞），
∵全集為U=R，
∴?_U（A∩B）=（-∞，2）∪[3，+∞），
綜上所述，得A∪B=[-1，+∞），?_U（A∩B）=（-∞，2）∪[3，+∞）．
（2）由（1）得集合B=[2，+∞），
∵C={x|2x+a＞0}=（-

a

2

，+∞），且B∪C=C，
∴B?C，可得-

a

2

＜2，解之得a＞-4．
即實數a的取值范圍是（-4，+∞）．

點評：本題給出集合A、B，求A、B的并集和交集的補集，并討論了集合的包含關系，著重考查了函數定義域的求法和集合的基本運算等知識，屬于基礎題．