Question

（2012•吉安二模）四棱錐P-ABCD中，PA上平面ABCD，E為AD的中點(diǎn)，四邊形ABCE為菱形，∠BAD=120°，PA=AB，G，F(xiàn)分別是線段CE，PB上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足

PF

PB

=

CG

CE

=λ∈(0，1)．
（1）求證：FG∥平面PDC；
（2）求λ的值，使得二面角F-CD-G的平面角的正切值為

2

3

．

Answer 1

分析：法一：（1）以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，不妨設(shè)PA=2，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，求得平面PDC的法向量

n0

=(

3

，1，2)，證明

n0

•

FG

=0，即可證明FG∥平面PCD
（2）求出平面PCD的法向量

n1

=(

3

(1-λ)，1-λ，2-λ)，cosθ=

3

13

，利用向量的夾角公式建立方程，即可求得結(jié)論；
法二：（1）延長BG交CD于Q，連PQ，BE，證明FG∥PQ，即可證得FG∥平面PCD；
（2）作FM⊥AB于M，作MN⊥CD于N，連FN，則FN⊥CD，∠FNM為二面角F-CD-G的平面角，利用二面角F-CD-G的平面角的正切值為

2

3

，即可求得結(jié)論．

解答：法一：（1）證明：如圖以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，不妨
設(shè)PA=2，
則A（0，0，0），P（0，0，2），B（

3

，-1.0），C（

3

，1，0），D（0，4，0）．
由

PF

PB

=

CG

CE

=λ，得F（

3

λ，-λ，2-2λ），G（

3

-

3

λ，1+λ，0），

FG

=（-2

3

λ+

3

，1+2λ，-2+2λ），
設(shè)平面PCD的法向量

n0

=(x，y，z)，則由

n0

•

PC

=0，

n0

•

PD

=0，
可得

3 x+y-2z=0 4y-2z=0

，取

n0

=(

3

，1，2)
∴

n0

•

FG

=0，∴

n0

⊥

FG

∵FG?平面PDC，∴FG∥平面PCD
（2）解：

FC

=(

3

-

3

λ，1+λ，-2+2λ)，

CD

=(-

3

，3，0)
設(shè)平面PCD的法向量為

n1

=(x′，y′，z′)，則由

n1

•

FC

=0，

n1

•

CD

=0
∴

( 3 - 3 λ)x′+(1+λ)y′+(-2+2λ)z′=0 - 3 x′+3y′=0

，可取

n1

=(

3

(1-λ)，1-λ，2-λ)
∵tanθ=

2

3

，∴cosθ=

3

13

∵

n2

=(0，0，1)為平面GCD的法向量
∴|cosθ|=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

3

13

∴8λ²-14λ+5=0，∴λ=

1

2

或λ=

5

4

（舍去）
∴λ=

1

2

法二：（1）證明：延長BG交CD于Q，連PQ，BE，平行四邊形BEDC，則BE∥CQ，∴

CG

GE

=

QG

GB

．
 又∵PF：FB=CG：GE，則QG：GB=PF：FB，∴FG∥PQ．
∵FG?平面PCD，PQ?平面PCD．
∴FG∥平面PCD
（2）解：作FM⊥AB于M，作MN⊥CD于N，連FN，則FN⊥CD，∴∠FNM為二面角F-CD-G的平面角．

FM

PA

=

FB

PB

=1-λ，不妨設(shè)PA=2，則FM=2（1-λ）=BM，MN=2-λ．
由tan∠FNM=

FM

MN

得

2

3

=

2(1-λ)

2-λ

，即λ=

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查線面平行，考查面面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，屬于中檔題．