Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=2，S_n=na_n-n（n-1）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足：a_n=

b1

3+1

+

b2

3×2+1

+

b3

3×3+1

+…+

bn

3n+1

，求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）令c_n=

anbn

4

（n∈N^*），求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）由題意已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S_n=na_n-n（n-1），已知前n項和求通項；
（II）在（I）中求出數列a_n的通項，利用列項相消法求解即可．
（III）利用（I）（II）得出c_n=

a nb n

4

=

2n•2(3n+1)

4

=3n²+n，再利用正整數的平方和公式及等差數列的求和公式求解即得．

解答：解：（I）n≥2時，S_n=na_n-n（n-1），
∴S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2），
兩式相減得a_n=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），則（n-1）a_n=（n-1）a_n-1+2（n-1），
∴a_n=a_n-1+2
∴{a_n}是首項為2，公差為2的等差數列，
∴a_n=2n；
（II）∵a_n=

b 1

3+1

+

b 2

3×2+1

+

b 3

3×3+1

+…+

bn

3n+1

，
∴a_n-1=

b 1

3+1

+

b 2

3×2+1

+

b 3

3×3+1

+…+

b n-1

3(n-1)+1

，
∴當n≥2時，有a_n-a_n-1=

b n

3n+1

，
由（I）得a_n-a_n-1=2，
∴b_n=2（3n+1），
而當n=1時，也成立，
∴數列{b_n}的通項公式b_n=2（3n+1）（n∈N^*），
（III）c_n=

a nb n

4

=

2n•2(3n+1)

4

=3n²+n，
∴數列{c_n}的前n項和T_n=3（1²+2²+3²+…+n²）+（1+2+3+…+n）
=3×

1

6

n（n+1）（2n+1）+

1

2

n（n+1）
=

1

6

n（n+1）（4n+5）．

點評：此題考查了數列遞推式、等差數列、已知數列的前n項和求其通項，還考查了公式法求出數列的前n項的和．