Question

若橢圓

x2

12

+

y2

8

=1上有兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線l：6x-6y-1=0對(duì)稱(chēng)，則PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是（　　）

• A、(

  1

  3

  ，

  1

  6

  )
• B、(

  1

  2

  ，

  1

  3

  )
• C、(-

  1

  3

  ，-

  1

  2

  )
• D、(-

  1

  2

  ，-

  1

  3

  )

Answer 1

分析：因?yàn)橹本�l是線段PQ的垂直平分線，所以設(shè)直線PQ的方程為y=-x+m，把直線PQy=-x+m代入2x²+3y²=24，并整理，得
5x²-6mx+3m²-24=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=

6m

5

，y1+y2=-x1+m-x2+m=

4m

5

，所以PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)M（

3m

5

，

2m

5

），由點(diǎn)M（

3m

5

，

2m

5

）在直線l：6x-6y-1=0上，解得m=

5

6

．由此能求出M（

1

2

，

1

3

）．

解答：解：∵兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線l：6x-6y-1=0對(duì)稱(chēng)，
∴直線l是線段PQ的垂直平分線，
∵k_PQ=1，∴k_PQ=-1，
設(shè)直線PQ的方程為y=-x+m，
把直線PQy=-x+m代入2x²+3y²=24，并整理，得
5x²-6mx+3m²-24=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x1+x2=

6m

5

，y1+y2=-x1+m-x2+m=

4m

5

，
∴PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)M（

3m

5

，

2m

5

），
∵點(diǎn)M（

3m

5

，

2m

5

）在直線l：6x-6y-1=0上，
∴6×

3m

5

-6×

2m

5

-1=0，
解得m=

5

6

．
∴M（

3m

5

，

2m

5

）為M（

1

2

，

1

3

）．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．