Question

【題目】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=AA1=2，D、E分別為棱AB、BC的中點，點F在棱AA1上．
（1）證明：直線A1C1∥平面FDE；
（2）若F為棱AA1的中點，求三棱錐A1﹣DEF的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分別為棱AB、BC的中點，

∴DE∥AC，

又A1C1∥AC，

∴A1C1∥DE；

又DE平面FDE，A1C1平面FDE，

∴直線A1C1∥平面FDE

（2）解：如圖所示：

當F為棱AA1的中點時，AF= AA1=1，

三棱錐A1﹣ADE的體積為

= S△ADEAA1= × DEECAA1= ×1×1×2= ，

三棱錐F﹣ADE的體積為

VF﹣ADE= S△ADEAF= × DEEC AA1= ；

∴三棱錐A1﹣DEF的體積為

﹣VF﹣ADE= ﹣ = ．

【解析】（1）根據題意，證明DE∥AC，再證A1C1∥DE，從而證明直線A1C1∥平面FDE；（2）利用三棱錐A1﹣DEF的體積為 ﹣VF﹣ADE，即可求出結果．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．