Question

12．通過(guò)研究函數(shù)f（x）=2x⁴-10x²+2x-1在x∈R內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)一步研究得函數(shù)g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n＞3，n∈N且n為奇數(shù)）在x∈R內(nèi)零點(diǎn)有3個(gè)．

Answer 1

分析 對(duì)函數(shù)f（x）=2x⁴-10x²+2x-1進(jìn)行求導(dǎo)，求得函數(shù)的極值，單調(diào)性，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，對(duì)于函數(shù)g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n≥3，n∈N）用同樣的方法可得，注意計(jì)算時(shí)整體代換．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2x⁴-10x²+2x-1
∴f′（x）=8x³-20x+2=2（4x³-10x+1）
在f′（x）=0時(shí)，
f（x）=2x⁴-10x²+2x-1，
=2x⁴-5x²+$\frac{1}{2}$x-5x²+$\frac{3}{2}$x-1，
=$\frac{1}{2}$（4x³-10x+1）-5x²+$\frac{3}{2}$x-1，
=-5x²+$\frac{3}{2}$x-1，
由于判別式△＜0，
∴f（x）的所有極值均是負(fù)數(shù)．
又∵當(dāng)x趨向于負(fù)無(wú)窮和正無(wú)窮時(shí)均為無(wú)窮大，
∴零點(diǎn)有兩個(gè)．
g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n＞3，n∈N且n為奇數(shù)）
也有，g′（x）=0時(shí)有，g（x）=（$\frac{20}{n}$-10）x²+（2-$\frac{2}{n}$）x-1
可知n＞3時(shí)，其判別式△＜0
n為奇數(shù)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)零點(diǎn)判定定理和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等問(wèn)題，同時(shí)考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．