Question

甲、乙兩地相距s千米,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過c千米/時.已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比,比例常數為b,固定部分為a元.

(1)把全程運輸成本y元表示為速度v(千米/時)的函數,并指出函數的定義域;

(2)為了使全程運輸成本最少,汽車應以多大的速度行駛?

Answer 1

答案：
解析：

解析:(1)因為汽車每小時的運輸成本為bv2+a(元),全程時間為(小時),故y=(bv2+a),即y=s(+bv),v∈(0,c］. (2)由于+bv≥,僅當v=時取等號,故①若≤c,則當v=時,y取最小值. ②若≥c,則先證y=s(+bv),v∈(0,c］為單調減函數. 事實上,當v1、v2∈(0,c］,且v1＜v2,則y1-y2=s［(+bv1)-(+bv2)］ =s［(-)+(bv1-bv2)］ =s(v1-v2)(b-) =sb(v1-v2)·. ∵v1、v2∈(0,c］,v1＜v2, ∴v1-v2＜0,v1v2＞0,v1＜,v2≤. 進而v1v2＜,從而y1-y2＞0. 故y=s(+bv),v∈(0,c］為單調減函數,由此知當v=c時取得最小值. 綜上可知,若≤c,則當v=時,y取最小值;若≥c,則當v=c時取得最小值.