Question

函數f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數，且f(

1

2

)=

2

5

（1）確定函數f（x）的解析式
（2）若函數f（x）在（-1，1）是單調遞增函數，求解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：（1）由題意，可先由函數f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數及f(

1

2

)=

2

5

求出a，b的值，由此可得函數的解析式；
（2）先由函數是奇函數，將不等式f（t-1）+f（t）＜0變為f（t-1）＜f（-t），再由函數f（x）在（-1，1）是單調遞增函數，可將不等式等價轉化為

t-1＜-t -1＜t-1＜1 -1＜-t＜1

，解之即可得到不等式的解集

解答：解：（1）依題意得

f(0)=0 f( 1 2 )= 2 5

即

b 1+02 =0 a 2 +b 1+ 1 4 = 2 5

解得

a=1 b=0

∴f(x)=

x

1+x2

（2）∵f（x）在（-1，1）是奇函數
∴f（-x）=-f（x）
∴f（t-1）＜-f（t）=f（-t）
∵f（x）在（-1，1）上是增函數
∴

t-1＜-t -1＜t-1＜1 -1＜-t＜1

，解得0＜t＜

1

2

∴不等式的解集為{t|0＜t＜

1

2

}

點評：本題考查利用函數的奇偶性與單調性解不等式，建立方程求參數，是函數性質考查的常見題型，也是高考的熱點，本題考查了方程的思想與轉化的思想，有一定的綜合性