Question

已知函數f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中常數a＞0．
（1）當a＞2時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）當a=4時，是否存在實數m，使得直線6x+y+m=0恰為曲線y=f（x）的切線？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由；
（3）設定義在D上的函數y=h（x）的圖象在點P（x₀，h（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），當x≠x₀時，若

h(x)-g(x)

x-x0

＞0在D內恒成立，則稱P為函數y=h（x）的“類對稱點”．當a=4，試問y=f（x）是否存在“類對稱點”？若存在，請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）∵f（x）=x²-（a+2）x+alnx，
∴f′(x)=2x-(a+2)+

a

x

=

2x2-(a+2)x+a

x

=

(2x-a)(x-1)

x

，其中x＞0，
令f'（x）=0，得x=1或x=

a

2

．
∵a＞2，∴

a

2

＞1．
當0＜x＜1及x＞

a

2

時，f'（x）＞0；
當1＜x＜

a

2

時，f'（x）＜0；
∴f（x）的單調遞增區間為(0，1)，(

a

2

，+∞)．
（2）當a=4時，f(x)=x2-6x+4lnx，f′(x)=2x+

4

x

-6，其中x＞0，
令f′(x)=2x+

4

x

-6=-6，方程無解，
∴不存在實數m使得直線6x+y+m=0恰為曲線y=f（x）的切線．
（3）由（2）知，當a=4時，函數y=f（x）在其圖象上一點P（x₀，f（x₀））處的切線方程為y=m(x)=(2x0+

4

x0

-6)(x-x0)+

x

20

-6x0+4lnx0，
設?(x)=f(x)-m(x)=x2-6x+4lnx-(2x0+

4

x0

-6)(x-x0)-(

x

20

-6x0+4lnx0)，
則φ（x₀）=0．
?′(x)=2x+

4

x

-6-(2x0+

4

x0

-6)=2(x-x0)(1-

2

xx0

)=

2

x

(x-x0)(x-

2

x0

)
若x0＜

2

，?(x)在(x0，

2

x0

)上單調遞減，
∴當x∈(x0，

2

x0

)時，φ（x）＜φ（x₀）=0，此時

?(x)

x-x0

＜0；
若x0＞

2

，?(x)在(

2

x0

，x0)上單調遞減，
∴當x∈(

2

x0

，x0)時，φ（x）＞φ（x₀）=0，此時

?(x)

x-x0

＜0．
∴y=f（x）在(0，

2

)∪(

2

，+∞)上不存在“類對稱點”．
若x0=

2

，?′(x)=

2

x

(x-

2

)2＞0，
∴φ（x）在（0，+∞）上是增函數，
當x＞x₀時，φ（x）＞φ（x₀）=0，
當x＜x₀時，φ（x）＜φ（x₀）=0，故

?(x)

x-x0

＞0．
即此時點P是y=f（x）的“類對稱點”
綜上，y=f（x）存在“類對稱點”，

2

是一個“類對稱點”的橫坐標．