Question

(本題滿分12分)

已知函數,為實數，.

（Ⅰ）若在區間上的最小值、最大值分別為、1，求、的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經過點且與曲線相切的直線的方程；

（Ⅲ）設函數，試判斷函數的極值點個數．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），為所求． （Ⅱ）或．

（Ⅲ）當時，，函數為單調遞增，極值點個數為0；

當時，此時方程有兩個不相等的實數根，根據極值點的定義，

可知函數有兩個極值點．

【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。

（1）因為函數,為實數，.求解導數。判定單調性和最值，結合在區間上的最小值、最大值分別為、1得到參數、的值；

（2）在（Ⅰ）的條件下，先求解導數值，然后得到經過點且與曲線相切的直線的方程；

（Ⅲ）設函數，函數的極值點個數就是分析單調性來得到結論。

解：（Ⅰ）由，得，．

∵，，

∴ 當時，，遞增；

當時，， 遞減．

∴ 在區間上的最大值為，∴．……………………2分

又，，∴ ．

由題意得，即，得．

故，為所求．                 ………………………………4分

（Ⅱ）解：由（1）得，，點在曲線上．

⑴ 當切點為時，切線的斜率，

∴ 的方程為，即． ……………………5分

⑵當切點不是切點時，設切點為，

切線的斜率，

∴ 的方程為 ．

又點在上，∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，即，∴．

 ∴ 切線的方程為

故所求切線的方程為或．  ………………………………8分

（Ⅲ）解： ．

∴

二次函數的判別式為

，

令，得：

令，得    ………………………………10分

∵，，

∴當時，，函數為單調遞增，極值點個數為0；

當時，此時方程有兩個不相等的實數根，根據極值點的定義，

可知函數有兩個極值點．               ………………………………12分