Question

己知f（x）=lnx-ax²-bx．
（Ⅰ）若a=-1，函數f（x）在其定義域內不是單調函數，求b的取值范圍；
（Ⅱ）當a=1，b=-1時，判斷函數f（x）只有的零點個數．

Answer 1

分析：（1）已知函數f（x）在其定義域內不是單調函數，所有其導數為0時在定義域內有解，再列出b關于x的式子求解即可．
（2）利用函數在定義域內的單調性和最值研究零點的個數，對f（x）求導，找到單調區間，確定最值f（1）=0，對于?x≠1，f（x）＜0，則得到零點個數．

解答：解：（Ⅰ）依題意：f（x）=lnx+x²-bx，
∵f（x）在（0，+∞）上不是單調函數，∴f，(x)=

1

x

+2x-b=0在(0，+∞)內有解，
即b=

1

x

+2x對?x∈（0，+∞）有解，當且僅當

1

x

=2x，即x=

2

2

時，

1

x

+2x取得最小值2

2

∴只需b≥2

2

∴b的取值范圍為[2

2

，+∞）
（Ⅱ）當a=1，b=-1時，f（x）=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞），
∴f′（x）=

1

x

-2x+1=-

(x-1)(2x+1)

x

∴當0＜x＜1時，f′（x）＞0；
當x＞1時，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．
∴當x=1時，f（x）取得最大值為0；
當x≠1時，f（x）＜f（1）=0，
即f（x）只有一個零點．

點評：利用導數研究函數的單調性，求解函數的單調區間、極值、最值問題，是函數這一章最基本的知識，也是教學中的重點和難點，學生應熟練掌握．