Question

9．運動員小王在一個如圖所示的半圓形水域（O為圓心，AB是半圓的直徑）進行體育訓練，小王先從點A出發，沿著線段AP游泳至半圓上某點P處，再從點P沿著弧PB跑步至點B處，最后沿著線段BA騎自行車回到點A處，本次訓練結束．已知OA=1500m，小王游泳、跑步、騎自行車的平均速度分別為2m/s，4m/s，10m/s，設∠PAO=θrad．
（1）若$θ=\frac{π}{3}$，求弧PB的長度；
（2）試將小王本次訓練的時間t表示為θ的函數t（θ），并寫出θ的范圍；
（3）請判斷小王本次訓練時間能否超過40分鐘，并說明理由．
（參考公式：弧長l=rα，其中r為扇形半徑，α為扇形圓心角．）

Answer 1

分析 （1）求出∠POB的弧度，從而求出PB的長度即可；
（2）根據PB的長，求出t（θ）的解析式即可；（3）求出函數的導數，根據函數的單調性求出t（θ）的最大值，帶入計算比較即可．

解答 解：（1）∵$∠POB=2θ=\frac{π}{3}$，
∴$\widehat{PB}=OA•\frac{π}{3}=500π$m．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2）在OAP中，AP=2OAcosθ=3000cosθ，
在扇形OPB中，$\widehat{PB}=OA•（2θ）=3000θ$，
又BA=2OA=3000，
∴小王本次訓練的總時間：
$t（θ）=\frac{AP}{2}+\frac{{\widehat{PB}}}{4}+\frac{BA}{10}=\frac{3000cosθ}{2}+\frac{3000θ}{4}+\frac{3000}{10}$
=$1500（cosθ+\frac{θ}{2}）+300$，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，
（3）由（2）得：$t'（θ）=-1500（sinθ-\frac{1}{2}）$，
令t'（θ）=0，得$sinθ=\frac{1}{2}$，∴$θ=\frac{π}{6}$，
列表如下，

θ	$（0，\frac{π}{6}）$	$\frac{π}{6}$	$（\frac{π}{6}，\frac{π}{2}）$
t'（θ）	+	0	-
t（θ）	↗	極大值	↘

從上表可知，當$θ=\frac{π}{6}$時，t（θ）取得極大值，且是最大值，
∴t（θ）的最大值是$t（\frac{π}{6}）=1500（cos\frac{π}{6}+\frac{π}{12}）+300=750\sqrt{3}+125π+300$，
（3）∵$\sqrt{3}＜2$，π＜3.2，
∴$t（\frac{π}{6}）＜750×2+125×3.2+300=2200$，
∵2200＜40×60，∴小王本次訓練時間不能超到40分鐘．

點評 本題考查了弧長公式，考查函數的單調性、最值問題，是一道綜合題．