Question

下列幾個命題：
①關于x的不等式ax＜

2x-x2

在（0，1）上恒成立，則a的取值范圍為（-∞，1]； 
②函數y=log₂（-x+1）+2的圖象可由y=log₂（-x-1）-2的圖象向上平移4個單位，向右平移2個單位得到；
③若關于x方程|x²-2x-3|=m有兩解，則m=0或m＞4；
④若函數f（2x+1）是偶函數，則f（2x）的圖象關于直線x=

1

2

對稱．
其中正確的有

①②③④

．

Answer 1

分析：將不等式ax＜

2x-x2

化為a＜

2x-x2

x

=

2 x -1

，根據反比例函數及冪函數的性質求出其最小值，可將恒成立問題轉化為a的取值范圍，進而判斷①的真假；
根據函數圖象的平移變換法則，可判斷平移前后兩個函數關系是否符號平移方式，進而得到②的真假；
根據二次函數的圖象及函數圖象的對折變換法則，分析函數的圖象形狀及性質，即可分析出方程|x²-2x-3|=m有兩解時，m的取值范圍，進而判斷③的真假；
根據函數圖象的平移法則，及偶函數的對稱性，可判斷③的真假；

解答：解：關于x的不等式ax＜

2x-x2

在（0，1）上恒成立，即a＜

2x-x2

x

=

2 x -1

在（0，1）上恒成立，當x∈（0，1）時，

2 x -1

＞1，故a的取值范圍為（-∞，1]，即①正確； 
將y=log₂（-x-1）-2的圖象向上平移4個單位，向右平移2個單位可得y=log₂[-（x-2]-1）-2+4=log₂（-x+1）+2的圖象，故②正確；
函數y=|x²-2x-3|是將拋物線y=x²-2x-3的圖象位置x軸下方的翻折到x軸上方，且在x=-1或x=3時取極小值0，當x=1時取極大值4，故當m=0或m＞4時與直線y=m有兩個交點，故③正確；
f（2x）的圖象是由f（2x+1）的圖象向右平移

1

2

個單位得到的，若函數f（2x+1）是偶函數，則其圖象關于y軸對稱，故f（2x）的圖象關于直線x=

1

2

對稱，即④正確；
故答案為：①②③④

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，其中熟練掌握基本初等函數的圖象和性質，函數圖象的平移變換法則，函數的奇偶性及對稱性，是解答的關鍵．