Question

如圖所示,已知拋物線E:y²=x與圓M:(x-4)²+y²=r²(r>0)相交于A、B、C、D四個點.

(1)求r的取值范圍;
(2)當四邊形ABCD的面積最大時,求對角線AC、BD的交點P的坐標.

Answer 1

（1）（,4）  （2）（,0）

解:(1)將y²=x代入(x-4)²+y²=r²,
并化簡得x²-7x+16-r²=0,①
E與M有四個交點的充要條件是方程①有兩個不等的正根x₁,x₂,
由此得
解得<r²<16.
又r>0,
所以r的取值范圍是（,4）.
(2)不妨設E與M的四個交點的坐標為:
A(x₁,)、B(x₁,-)、C(x₂,-)、D(x₂,).
則直線AC、BD的方程分別為
y-=·(x-x₁),
y+=(x-x₁),
解得點P的坐標為(,0).
設t=,
由t=及(1)知0<t<.
由于四邊形ABCD為等腰梯形,
因而其面積S=(2+2)·|x₂-x₁|.
則S²=(x₁+x₂+2)[(x₁+x₂)²-4x₁x₂].
將x₁+x₂=7,=t代入上式,
并令f(t)=S²,
得f(t)=(7+2t)²·(7-2t)（0<t<）.
求導數,f′(t)=-2(2t+7)(6t-7),
令f′(t)=0得t=,t=-(舍去),
當0<t<時,f′(t)>0;
當<t<時,f′(t)<0.
故當且僅當t=時,f(t)有最大值,
即四邊形ABCD的面積最大.
故所求的點P的坐標為（,0）.