Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若${S_n}={n^2}$，數(shù)列$\left\{{\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和T_n=（　　）

• A． $\frac{n}{2n+1}$
• B． $\frac{2n+2}{2n+1}$
• C． $\frac{2n}{2n+1}$
• D． $\frac{2n}{2n-1}$

Answer 1

分析 推導(dǎo)出a_n=2n-1，從而$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列$\left\{{\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，${S_n}={n^2}$，
∴${a}_{1}={{S}_{1}}^{2}$=1²=1，
a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，2n-1=1=a₁，
∴a_n=2n-1，
∴$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，
∴數(shù)列$\left\{{\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和：
T_n=1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．