Question

已知函數f（x）=ax+lnx，x∈（1，e），且f（x）有極值．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）求函數f（x）的值域；
（3）函數g（x）=x³-x-2，證明：?x₁∈（1，e），?x∈（1，e），使得g（x）=f（x₁）成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=ax+lnx求導，再由f（x）有極值知f′（x）=0解，且在兩側導函數正負相異求解．
（2）由（Ⅰ）可知f（x）的極大值為，再求得端點值f（1）=a，f（e）=ae+1，比較后取最小值和最大值，從而求得值域．
（3）證明：由：?x₁∈（1，e），?x∈（1，e），使得g（x）=f（x₁）f（x₁）即研究：f（x）的值域是g（x）的值域的子集，所以分別求得兩函數的值域即可．
解答：解：（1）由f（x）=ax+lnx求導可得：．（2分）
令=0，可得
∵x∈（1，e），∴∴（3分）
又因為x∈（1，e）

所以，f（x）有極值所以，實數a的取值范圍為．（4分）
（2）由（Ⅰ）可知f（x）的極大值為（6分）
又∵f（1）=a，f（e）=ae+1
由a≥ae+1，解得又∵
∴當時，
函數f（x）的值域為（ae+1，-1+ln（）]（8分）
當時，
函數f（x）的值域為（a，-1+ln（）]．（10分）
（3）證明：由g（x）=x³-x-2求導可得g'（x）=3x²-1（11分）
令g'（x）=3x²-1=0，解得
令g'（x）=3x²-1＞0，解得或
又∵
∴g（x）在（1，e）上為單調遞增函數（12分）
∵g（1）=-2，g（e）=e³-e-2
∴g（x）在x∈（1，e）的值域為（-2，e³-e-2）（14分）
∵，
-2＜ae+1，-2＜a
∴，

∴?x₁∈（1，e），?x∈（1，e），使得g（x）=f（x₁）成立．（16分）
點評：本題主要考查用導數來研究函數的單調性，極值，最值等問題，以及集合思想的應用．