Question

如果一個函數的定義域是值域的真子集，那么稱這個函數為“思法”函數．
（1）判斷指數函數、對數函數是否為思法函數，并簡述理由；
（2）判斷冪函數y=x^α（α∈Q）是否為思法函數，并證明你的結論；
（3）已知是思法函數，且不等式2^t+1+3^t+1≤k（2^t+3^t）對所有的f_t（x）都成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵指數函數的定義域是R，值域（0，+∞）．
∴指數函數不是思法函數
對數函數的定義域是（0，+∞），值域R，
故對數函數是思法函數．
（2）冪函數y=x^α（α∈Q）不是思法函數．證明如下：
1）當α=0時，顯然y=x⁰不是思法函數；
2）當α＞0時，設（其中m，n是互質的正整數）．
①若n為偶數，則m為奇數，定義域和值域都是[0，+∞），不是思法函數；
②若n為奇數，當m為奇數時，定義域和值域都是R，不是思法函數；
當m為偶數時，定義域R，值域是[0，+∞），不是思法函數．
3）當α＜0時，設（其中m，n是互質的正整數）
①若n為偶數，則m為奇數，定義域和值域都是（0，+∞），不是思法函數；
②若n為奇數，當m為奇數時，定義域和值域都是（-∞，0）∪（0，+∞），不是思法函數；
當m為偶數時，定義域（-∞，0）∪（0，+∞），值域是（0，+∞），不是思法函數．
綜上所述；冪函數y=x^α（α∈Q）不是思法函數．
（3）令y=lnu，u=x²+2x+t．則u=（x+1）²+t-1
①當△=4-4t＜0，即t＞1時，恒有u≥t-1＞0．
故f_t（x）的定義域為R，值域為[ln（t-1），+∞），f_t（x）不是思法函數；
②當△=4-4t≥0，即t≤1時，u=x²+2x+t能取（0，+∞）中的一切值，
故f_t（x）的值域為R．定義域不是R，f_t（x）是思法函數．
因此，f_t（x）是思法函數?t∈（-∞，1]．
又，
令，則k≥g（t）_max．
∵在（-∞，1]上是增函數，
故．
所以．
分析：（1）根據指數函數、對數函數的圖象和性質，結合思法函數的定義，可得結論；
（2）根據冪函數y=x^α（α∈Q）的圖象和性質，分別討論α=0，α＞0和α＜0三種情況下，函數的定義域和值域，結合思法函數的定義，可得結論；
（3）根據是思法函數，令y=lnu，u=x²+2x+t．結合思法函數的定義及二次函數的圖象和性質，由不等式2^t+1+3^t+1≤k（2^t+3^t）對所有的f_t（x）都成立，構造關于k的不等式，可得實數k的取值范圍．
點評：本題考查的知識點是函數的定義域，值域，熟練掌握指數函數、對數函數、冪函數、二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．