Question

如圖，某農場在M處有一堆肥料沿道路MA或MB送到大田ABCD中去，已知|MA|=6，|MB|=8，且|AD|≤|BC|，∠AMB=90°，能否在大田中確定一條界線，使位于界線一側沿MB送肥料較近？若能，請建立適當坐標系求出這條界線方程．

Answer 1

【答案】分析：根據題意，證出界線上的任意一點P滿足PA-PB=2（定值），從而得到界線為以A，B為焦點的雙曲線的右支部分．在根據雙曲線的基本量結合題中數據算出a=1且b=2，算出雙曲線方程，即得界線所在曲線的方程．
解答：解：設P為界線上的任意一點，則有PA+MA=PB+MB，即PA-PB=MB-MA=2（定值），
∴界線為以A，B為焦點的雙曲線的右支
如圖所示，以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，
設所求雙曲線的標準方程為=1（a＞0，b＞0）
∵2a=2，2c=AB==10，可得a=1，c=5，b==2
∴雙曲線方程為x²-=1，
∵P為以曲線右支上一點，且|AD|≤|BC|，可得x＞0
即所求界線的方程為x²-=1，（x＞0）．
點評：本題給出實際應用問題，求界線所在曲線的方程．著重考查了雙曲線的定義、標準方程和圓錐曲線的實際應用等知識，屬于中檔題．