Question

【題目】如圖，在三棱錐A﹣BOC中，OA，OB，OC兩兩垂直，點D，E分別為棱BC，AC的中點，F在棱AO上，且滿足OF= ，已知OA=OC=4，OB=2．

（1）求異面直線AD與OC所成角的余弦值；
（2）求二面角C﹣EF﹣D的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，以O為原點，分別以OB、OC、OA所在直線為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系．

依題意可得：O（0，0，0），A（0，0，4），B（2，0，0），C（0，4，0），D（1，2，0），E（0，2，2），F（0，0，1），

∴ ， ，

于是 ， ， ，

∴cos＜ ＞=

（2）解：平面AOC的一個法向量為 ．

設 為平面DEF的一個法向量，

又 ， ，

則 ，取z=2，則x=4，y=﹣1，

∴ 為平面DEF的一個法向量，

從而cos＜ ＞= ，

設二面角C﹣EF﹣D的大小為θ，則|cosθ|= ．

∵θ∈[0，π]，∴sinθ= ．

因此二面角C﹣EF﹣D的正弦值為 ．

【解析】（1）根據題意建立空間直角坐標系，進而求出各個點的坐標，進而得到和的坐標，利用向量的數量積公式可求出其余弦值。（2）根據題意可得平面AOC的一個法向量為 = ( 2 ， 0 ， 0 ) ．求出平面DEF的一個法向量的坐標，利用向量的數量積可求出二面角平面角的余弦值，進而得到正弦值。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解異面直線及其所成的角的相關知識，掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系．