Question

已知函數(shù)f（x）=lg（ax²+2x+1）．
（1）若f（x）的定義域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍及f（x）的值域；
（2）若f（x）的值域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍及f（x）的定義域．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的是函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題．在解答時(shí)，對（1）由于函數(shù)f（x）的定義域是R，所以ax²+2x+1＞0對一切x∈R成立．
解此恒成立問題即可獲得實(shí)數(shù)a的取值范圍，再結(jié)合二次函數(shù)最值的知識易得函數(shù)f（x）的值域；對（2）由于函數(shù)f（x）的值域是R，所以u=ax²+2x+1的值域?（0，+∞）．然后利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可獲得問題的解答．
解答：解：（1）因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)镽，所以ax²+2x+1＞0對一切x∈R成立．
由此得
解得a＞1．
又因?yàn)閍x²+2x+1=a（x+）²+1-＞0，
所以f（x）=lg（ax²+2x+1）≥lg（1-），
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，+∞），
f（x）的值域是．
（2）因?yàn)閒（x）的值域是R，所以u=ax²+2x+1的值域?（0，+∞）．
當(dāng)a=0時(shí)，u=2x+1的值域?yàn)镽?（0，+∞）；
當(dāng)a≠0時(shí)，u=ax²+2x+1的值域?（0，+∞）等價(jià)于
解之得0＜a≤1
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0.1]當(dāng)a=0時(shí)，由2x+1＞0得x＞-，
f（x）的定義域是（-，+∞）；
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，由ax²+2x+1＞0
解得或
f（x）的定義域是．
點(diǎn)評：本題考查的是函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了恒成立的思想、問題轉(zhuǎn)化的思想以及數(shù)形結(jié)合的思想．值得同學(xué)們體會和反思．