Question

將函數f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+2013在區間（0，+∞）內的全部極值點按從小到大的順序排成數列{a_n}（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=2nan，數列{b_n}的前n項和為T_n，求T_n的表達式．

Answer 1

分析：（1）由倍角公式可得f（x）=

1

2

sinx+2013，求導后令導函數值等0，可得函數的極值點，進而根據三角函數的周期性，可得到數列{a_n}的首項和公差，進而得到數列{a_n}的
通項公式．
（2）由bn=2nan，數列{b_n}的前n項和為T_n，利用錯位相減法可得T_n的表達式．

解答：解：（1）由于f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+2013=

1

2

sinx+2013，令f′（x）=0得，x=kπ+

π

2

（k∈Z）．
故函數f（x）極值點為x=kπ+

π

2

（k∈Z）．
又∵函數f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+2013在區間（0，+∞）內的全部極值點構成數列{a_n}，
故數列{a_n}是以

π

2

為首項，π為公差的等差數列，∴a_n=

π

2

+（n-1）•π=

2n-1

2

π（n∈N^*）．…．（6分）
（2）∵b_n=2ⁿa_n=

π

2

（2n-1）•2ⁿ，
∴T_n=

π

2

[1•2+3•2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ]，
2T_n=

π

2

[1•2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹]，
兩式相減，得-T_n=

π

2

[1•2+2•2²+2•2³+…+2•2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹]，
∴T_n=π[（2n-3）•2ⁿ+3]．…（12分）

點評：本題考查的知識點是二倍角的正弦公式，求函數的導數，函數在某點取得極值的條件，數列的函數特性，用錯位相減法進行求和，屬于中檔題．