Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E、F、G分別是DD₁，BD，BB₁的中點(diǎn)．
（1）求證：EF⊥CF；
（2）求EF與CG所成角的余弦值；
（3）求CE的長．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的判定證明CF⊥平面BDD₁B₁，再利用線面垂直的性質(zhì)證明EF⊥CF；
（2）取B₁D₁的中點(diǎn)M，連接GM，CM，B₁D．在平面BB₁DD₁上，F(xiàn)E∥B₁D，GM∥B₁D，所以∠CGM（或其補(bǔ)角）為EF與CG所成角，故可求；
（3）直接利用勾股定理計(jì)算可得．

解答：（1）證明：在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵F是BD的中點(diǎn)
∴CF⊥BD，D₁D⊥CF
∵BD∩D₁D=D
∴CF⊥平面BDD₁B₁，
∵點(diǎn)E、F分別是DD₁，BD的中點(diǎn)．
∴EF?平面BDD₁B₁，
∴EF⊥CF；
（2）取B₁D₁的中點(diǎn)M，連接GM，CM，B₁D．
在平面BB₁DD₁上，F(xiàn)E∥B₁D，GM∥B₁D，所以∠CGM（或其補(bǔ)角）為EF與CG所成角．
在△CMG中，MG=

3

2

，CG=

1+ 1 4

=

5

2

，CM=

1+ 1 2

=

6

2

∴cos∠CGM=

3 4 + 5 4 - 6 4

2× 3 2 × 5 2

=

15

15

∴EF與CG所成角的余弦值為

15

15

；
（3）在直角△DEC中，CD=1，DE=

2

2

，∴CE=

1+ 1 4

=

5

2

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線線角，熟練掌握線面垂直的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．