Question

將如圖所示的三角形數陣中所有的數按從上至下、從左至右的順序排列成數列a₁₁，a₂₁，a₂₂，a₃₁，a₃₂，…．若所得數列構成一個等差數列，且a₁₁=2，a₃₃=12，則
①數陣中的數a_ii可用i表示為

i²+i

；
②若a_mn+a_{（m+1）（n+1）}=a_{（m+2）（n+2）}，則m+n的值為

5

．

Answer 1

分析：①不妨設等差數列a₁₁，a₂₁，a₂₂，a₃₁，a₃₂，…為{b_n}，則由a₁₁=2，a₃₃=12可得b₁=2，公差d=2，故b_n=2n．而 a_ii可為等差數列{b_n}中的第1+2+3+…+i=

i(i+1)

2

個，由此可得 a_ii 的值．
②先求出a_mn=m²-m+2n．再由已知的等式化簡可得 m²-3m-4+2n=0，由于n＞0，可得m²-3m-4＜0，解得m的范圍，結合 m≥n＞0，可得m和n的值，從而求得 m+n的值．

解答：解：①不妨設等差數列a₁₁，a₂₁，a₂₂，a₃₁，a₃₂，…為{b_n}，則由a₁₁=2，a₃₃=12可得b₁=2，公差d=2．
故b_n=2n．
而 a_ii可為等差數列{b_n}中的第1+2+3+…+i=

i(i+1)

2

 個，∴a_ii =2×

i(i+1)

2

=i（i+1）=i²+i，
故答案為 i²+i．
②由題意可得，a_mn=b_{1+2+3+…+（m-1）+n}=2[1+2+3+…+（m-1）+n]=m²-m+2n．
∴a_{（m+1）（n+1）}=（m+1）²-（m+1）+2（n+1），a_{（m+2）（n+2）}=（m+2）²-（m+2）+2（n+2）．
再由 a_mn+a_{（m+1）（n+1）}=a_{（m+2）（n+2）}，
可得 m²-m+2n+（m+1）²-（m+1）+2（n+1）=（m+2）²-（m+2）+2（n+2），
化簡可得 m²-3m-4+2n=0，由于n＞0，∴m²-3m-4＜0，解得-1＜m＜4，
∴m=1，2，3，再由 m≥n＞0，可得

m=3 n=2

，∴m+n=5，
故答案為 5．

點評：本題主要考查等差數列的性質，等差數列的前n項和公式的應用，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．