Question

已知函數f(x)=x³-ax²+bx（a，b∈R），
（Ⅰ）若f′(0)=f′(2)=1，求函數f(x)的解析式；
（Ⅱ）若b=a+2，且f(x)在區間（0，1）上單調遞增，求實數a的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）因為，
由即得，
所以f(x)的解析式為。
（Ⅱ）若b=a+2，則，，
（1）當△≤0，即-1≤a≤2時，f′(x)≥0恒成立，那么f(x)在R上單調遞增，
所以，當-1≤a≤2時，f(x)在區間（0，1）上單調遞增；
（2）當△＞0，即a＞2或a＜-1時，因為的對稱軸方程為x=a，
要使函數f(x)在區間（0，1）上單調遞增，
需或，解得-2≤a＜-1或2＜a≤3；
綜上：當a∈[-2，3]時，函數f(x)在區間（0，1）上單調遞增。