Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩準線間距離為6，離心率e=

3

3

．過橢圓上任意一點P，作右準線的垂線PH（H為垂足），并延長PH到Q，使得

PH

=λ

HQ

(λ＞0)．F₂為該橢圓的右焦點，設點P的坐標為（x₀，y₀）．
（1）求橢圓方程；
（2）當點P在橢圓上運動時，求λ的值使得點Q的軌跡是一個定圓．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩準線間距離為6，離心率e=

3

3

，建立方程組，求得幾何量，從而擴大橢圓的方程；
（2）利用向量知識，確定P的坐標，結(jié)合橢圓方程，利用點Q的軌跡是一個定圓，即可求λ的值．

解答：解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩準線間距離為6，離心率e=

3

3

，
∴

2a2 c =6 c a = 3 3

，∴a=

3

，c=1，∴b=

a2-c2

=

2

∴所求橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1…（6分）
（2）設Q的坐標為（x，y），H（3，y₀），∴y=y₀．
∵

PH

=λ

HQ

(λ＞0)，∴3-x₀=λ（x-3），∴x₀=3λ+3-λx…（9分）
又∵

x02

3

+

y02

2

=1，∴

(3λ+3-λx)2

3

+

y2

2

=1，即

(x- 3λ+3 λ )2

3 λ2

+

y2

2

=1…（12分）
∴當且僅當

3

λ2

=2，即λ=

6

2

時，點Q在定圓(x-3-

6

)2+y2=2上．…（15分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．