Question

已知函數y=Asin(ωx+φ)(A＞0， ω＞0， |φ|＜

π

2

的圖象過點P(

π

12

， 0)，且圖象上與P點最近的一個最高點坐標為(

π

3

， 5)．
（1）求函數的解析式；  
（2）指出函數的增區間；
（3）若將此函數的圖象向左平行移動

π

6

個單位長度后，再向下平行移動2個單位長度得到g（x）的圖象，求g（x）在x∈[-

π

6

， 

π

3

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）由已知可得A=5，T=

2π

ω

=π，ω=2；由5sin（2×

π

12

+φ）=0⇒

π

6

+φ=0，于是可求得函數的解析式； 
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）即可求得函數的增區間；
（3）由函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換知g（x）=5sin[2（x+

π

6

）-

π

6

]-2=5sin（2x+

π

6

）-2，-

π

6

≤x≤

π

3

⇒-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，利用正弦函數的單調性與最值即可求得g（x）的值域．

解答：解：（1）由已知可得A=5，

T

4

=

π

3

-

π

12

=

π

4

，
∴T=

2π

ω

=π，
∴ω=2；
∴y=5sin（2x+φ），
由5sin（2×

π

12

+φ）=0得，

π

6

+φ=0，
∴φ=-

π

6

，
∴y=5sin（2x-

π

6

）；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，
得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
∴該函數的增區間是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；
（3）g（x）=5sin[2（x+

π

6

）-

π

6

]-2=5sin（2x+

π

6

）-2，
∵-

π

6

≤x≤

π

3

，
∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴-

9

2

≤g（x）≤3，
∴g（x）的值域為[-

9

2

，3]．

點評：本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的解析式的確定與其圖象變換，著重考查正弦函數的單調性與最值，屬于中檔題．