Question

函數f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數，當x∈[-1，0]時，f（x）=x³-3ax（a為常數）．
（1）當x∈[0，1]時，求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）設x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，利用已知表達式即可求得f（-x），由偶函數性質可得f（-x）=f（x），從而可求f（x）；
（2）x∈[0，1]時，f′（x）=-3x²+3a=-3（x²-a），按a范圍分類討論f（x）在[0，1]的單調性，由單調性即可求得最值；

解答：解：（1）設x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，所以f（-x）=-x³+3ax，
又因為f（x） 是偶函數，所以f（-x）=f（x），
故f（x）=-x³+3ax，x∈[0，1]；
（2）x∈[0，1]時，f（x）=-x³+3ax，f′（x）=-3x²+3a=-3（x²-a），
ⅰ）當a≤0 時，f′（x）≤0恒成立，f（x）在[0，1]上單調遞減．
f_max（x）=f（0）=0；
ⅱ）當 a＞0時，由f′（x）=0得x=

a

，
①當a≥1 時，f′（x）≥0恒成立，f（x）在[0，1]上單調遞增．
f_max（x）=f（1）=-1+3a；
②當0＜a＜1時，f′（x）=-3（x+

a

）（x-

a

），
當0≤x＜

a

時，f′（x）＞0，f（x）在遞增，當

a

＜x≤1時，f′（x）遞減，
所以f_max（x）=f（

a

）=2a

a

．
綜上所述：當a≤0時，f_max（x）=0；當a≥1時，f_max（x）=-1+3a；當0＜a＜1 時，f_max（x）=2a

a

．

點評：本題考查偶函數性質、函數最值及函數解析式的求法，考查分類討論思想，考查學生分析解決問題的能力．