Question

【題目】已知的兩個頂點坐標是，，的周長為，是坐標原點，點滿足.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）若互相平行的兩條直線，分別過定點和，且直線與曲線交于兩點，直線與曲線交于兩點，若四邊形的面積為，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）由，所以，可得點的軌跡是以為焦點的橢圓（不含左右頂點）.再由得得出點A的坐標與點M的坐標的關系，可求得點的軌跡的方程；

（2）分直線的斜率不存在時和直線的斜率存在時兩種情況分別求解，當直線的斜率存在時，可設直線的方程為，直線的方程為與曲線E的方程聯立求得邊，，，再由平行線間的距離可得平行四邊形的面積，可得解.

（1）由已知，得，所以，點的軌跡是以為焦點的橢圓（不含左右頂點）.

因為，，，所以，，，

所以，點的軌跡方程為.

設，.由得，，又.

故，點的軌跡的方程為，即.

（2）由題意可知，當直線的斜率不存在時，易求得，，

，.這時，四邊形的面積為，不符合要求.

當直線的斜率存在時，可設直線的方程為，

則直線的方程為

由消去得，

設，，則，.

故，，

又，兩條平行直線，間的距離.

由橢圓的對稱性知：四邊形為平行四邊形，其面積，

解得，或.

故，直線的方程為或.