Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E、F分別是線段AB、BC的中點．
（Ⅰ）證明：PF⊥FD；
（Ⅱ）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A-PD-F的余弦值；．

Answer 1

分析：（I）連接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由線面垂直性質定理可得DF⊥PA，再由線面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由線面垂直的性質定理得到PF⊥FD；
（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中點M，則FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案．

解答：（Ⅰ）證明：連接AF，則AF=

2

，DF=

2

又AD=2，∴DF²+AF²=AD²，
∴DF⊥AF（2分）
又PA⊥平面ABCD，
∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴

DF⊥平面PAF PF?平面PAF

⇒DF⊥PF
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°．
∴PA=AB=1（9分）
取AD的中點M，
則FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A-PD-F的平面角
∵Rt△MND∽Rt△PAD，
∴

MN

PA

=

MD

PD

，
∵PA=1，MD=1，PD=

5

，且∠FMN=90°
∴MN=

5

5

，FN=

6 5

=

30

5

，
∴cos∠MNF=

MN

FN

=

6

6

點評：本題考查的知識點是空間直線與直線之間的位置關系，二面角大小度量．考查空間想象、推理論證、計算能力．