Question

4．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）證明：BD⊥CE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OE，推導(dǎo)出PC∥OE，由此能證明PC∥平面BDE．
（Ⅱ）推導(dǎo)出BD⊥AC，PA⊥BD，從而BD⊥平面PAC，由此能證明BD⊥CE．

解答 （本小題滿分13分）
證明：（Ⅰ）連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OE，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以O(shè)為AC中點(diǎn)．
又因?yàn)镋是PA的中點(diǎn)，所以PC∥OE，…（3分）
因?yàn)镻C?平面BDE，OE?平面BDE，
所以PC∥平面BDE．…（6分）
（Ⅱ）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以BD⊥AC．…（8分）
因?yàn)镻A⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD．…（10分）
又因?yàn)锳C∩PA=A，所以BD⊥平面PAC，…（12分）
又CE?平面PAC，
所以BD⊥CE．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線線垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．