Question

設函數y=f （x）滿足f （x+1）=f （x）+1，則方程f （x）=x的根的個數是（ ）
A．無窮個
B．有限個
C．沒有或者有限個
D．沒有或者無窮個

Answer 1

【答案】分析：根據條件“函數y=f （x）滿足f （x+1）=f （x）+1”可得f（x）=f（x-1+1）=f（x-1）+1=f（x-2）+1+1=f（0）+x=x，然后討論 f（0）是否為0，從而得到結論．
解答：解：∵函數y=f （x）滿足f （x+1）=f （x）+1，
∴f（x）=f（x-1+1）=f（x-1）+1=f（x-2）+1+1=f（0）+x=x  
要么f（0）=0，方程f （x）=x的根的個數無窮個 
要么f（0）不等于0，方程f （x）=x無解
故選 D．
點評：本題主要考查了抽象函數的遞推關系以及根的存在性及根的個數判斷，解題的關鍵如何利用條件“函數y=f （x）滿足f （x+1）=f （x）+1”，屬于中檔題．