Question

已知數列{a_n}的首項為1，前n項和為S_n，且滿足a _n+1=3S_n，n∈N^*．數列{b_n}滿足b_n=log₄a_n．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）當n∈N^*時，試比較b₁+b₂+…+b_n與

1

2

（n-1）²的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據a_n+1=3S_n得a_n+2=3S_n+1兩式相減整理可得

an+2

an+1

=4，進而可判斷出數列{a_n} 從第二項起是以4為公比的等比數列．進而根據等比數列的通項公式求得當n≥2時的通項公式，最后綜合可得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中的代入b_n=log₄a_n求得b_n，進而對b₁+b₂+b₃+…+b_n進行分組求和求得b₁+b₂+b₃+…+b_n=

n-1

2

[log4

9

4

+(n-1)]
進而根據

n-1

2

[log4

9

4

+(n-1)]＞

(n-1)2

2

證明原式．

解答：解：（Ⅰ）由a_n+1=3S_n（1），得a_n+2=3S_n+1（2），
由（2）-（1）得a_n+1-a_n+1=3a_n+1，
整理，得

an+2

an+1

=4，n∈N^*．
所以，數列a₂，a₃，a₄，…，a_n，是以4為公比的等比數列．
其中，a₂=3S₁=3a₁=3，
所以 an=

1 ，n=1 3•4n-2 n≥2，n∈N*

；
（Ⅱ）由題意，bn=

0 n=1 log43+(n-2) n≥2，n∈N*

．
當n≥2時，b₁+b₂+b₃+…+b_n
=0+（log₄3+0）+（log₄3+1）+…+（log₄3+n-2）
=(n-1)log43+

1

2

(n-2)(n-1)
=

n-1

2

[2log43-1+(n-1)]
=

n-1

2

[log4

9

4

+(n-1)]＞

(n-1)2

2

，
所以 b1+b2+b3++bn＞

(n-1)2

2

．

點評：本題主要考查了數列的求和問題．根據a_n+1=3S_n求得數列的通項公式是關鍵，得到數列{a_n}從第二項起是等比數列，是易錯點，考查運算能力，屬中檔題．