Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（-

1

2

，

3

2

），其中α是銳角．
（Ⅰ）當α=30°時，求|

a

+

b

|；
（Ⅱ）證明：向量

a

+

b

與

a

-

b

垂直；
（Ⅲ）若向量

a

與

b

夾角為60°，求角α．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（Ⅰ）當α=30°時，求得

a

+

b

的坐標，可得|

a

+

b

|的值．
（Ⅱ）由條件求得（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=0，從而證得向量

a

+

b

與

a

-

b

垂直．
（Ⅲ）若向量

a

與

b

夾角為60°，根據兩個向量的數量積公式、兩個向量的數量積的定義，求得 sin(α-

π

6

)=

1

2

，從而得到角α的值．

解答： （Ⅰ）解：當α=30°時，

a

=（

3

2

，

1

2

），所以，

a

+

b

=（

3 -1

2

，

3 +1

2

），
所以，|

a

+

b

|=

( 3 -1 2 )2+( 3 +1 2 )2

=

2

．
（Ⅱ）證明：由向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（-

1

2

，

3

2

），
得

a

+

b

=（cosα-

1

2

，sinα+

3

2

），

a

-

b

=（cosα+

1

2

，sinα-

3

2

），
由 α∈(0，

π

2

)，得向量

a

+

b

，

a

-

b

均為非零向量．
因為（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=

a

2-

b

2=（cos²α+sin²α）-（

1

4

+

3

4

）=0，
所以向量

a

+

b

與向量

a

-

b

 垂直．
（Ⅲ）解：因為|

a

|=|

b

|=1，且向量

a

與

b

夾角為60°，
所以

a

•

b

=|

a

|•|

b

|•cos60°=

1

2

，所以 -

1

2

cosα+

3

2

sinα=

1

2

，即 sin(α-

π

6

)=

1

2

．
因為 0＜α＜

π

2

，所以 -

π

6

＜α-

π

6

＜

π

3

，
所以 α-

π

6

=

π

6

，即α=

π

3

．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式、兩個向量的數量積的定義，兩個向量坐標形式的運算，兩個向量垂直的條件，根據三角函數的值求角，屬于基礎題．