Question

已知函數f（x）=alnx+

1

2

x²-（1+a）x
（1）求函數f（x）的單調區間
（2）證明，當m，n∈N時，
m（m+n）[

1

ln(m+n)

+

1

ln(m+n-1)

+

1

ln(m+n-2)

+…+

1

ln(m+1)

]＞n．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,證明題,導數的綜合應用

分析：（1）由題意先求函數的定義域，再求導f′（x）=

a

x

+x-（1+a）=

(x-1)(x-a)

x

，從而討論導數的正負以確定函數的單調性；
（2）由（2）知，當a=-

1

2

時，f（x）=-

1

2

lnx+

1

2

x²-

1

2

x≥0；當且僅當x=1時，等號成立；從而可化出當＞1時，

1

lnx

＞

1

x-1

-

1

x

；從而證明．

解答： 解：（1）f（x）=alnx+

1

2

x²-（1+a）x的定義域為{x|x＞0}，
f′（x）=

a

x

+x-（1+a）=

(x-1)(x-a)

x

；
①當a=1時，f′（x）≥0，f（x）在定義域上是增函數；
②當a＞1時，1＜x＜a時，f′（x）＜0，0＜x＜1或x＞a時，f′（x）＞0；
故f（x）的單調減區間為（1，a）；單調增區間為（0，1），（a，+∞）；
③當0＜a＜1時，a＜x＜1，f′（x）＜0，0＜x＜a或x＞1時，f′（x）＞0；
故f（x）的單調減區間為（a，1）；單調增區間為（0，a），（1，+∞）；
④當a＜0時，0＜x＜1，f′（x）＜0，x＞1時，f′（x）＞0；
故f（x）的單調減區間為（0，1）；單調增區間為（1，+∞）；
（2）證明：由（2）知，
當a=-

1

2

時，f（x）=-

1

2

lnx+

1

2

x²-

1

2

x≥0；
當且僅當x=1時，等號成立；
即lnx≤x²-x，
當＞1時，

1

lnx

＞

1

x-1

-

1

x

；
故

1

ln(m+n)

+

1

ln(m+n-1)

+

1

ln(m+n-2)

+…+

1

ln(m+1)

＞

1

m+n-1

-

1

m+n

+

1

m+n-2

-

1

m+n-1

+…+

1

m

-

1

m+1

=

1

m

-

1

m+n

=

n

m(m+n)

；
故m（m+n）[

1

ln(m+n)

+

1

ln(m+n-1)

+

1

ln(m+n-2)

+…+

1

ln(m+1)

]＞n．

點評：本題考查了導數的綜合應用及構造函數證明不等式的方法應用，屬于中檔題．