Question

【題目】設f（x）= （x＞0）．
（1）求f（x）的最大值；
（2）證明：對任意實數a、b，恒有f（a）＜b2﹣3b+ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= = ，

∵x+ ≥4 ，

（當且僅當x= ，即x=2 時，等號成立）

故 ≤ =2 ，

故f（x）的最大值為2

（2）解：證明：∵b2﹣3b+ =（b﹣ ）2+3＞2 ，

又∵f（a）≤2 ，

∴對任意實數a、b，恒有f（a）＜b2﹣3b+

【解析】（1）利用分離常數法化簡f（x）= = ，利用基本不等式求函數的最大值；（2）化簡b2﹣3b+ =（b﹣ ）2+3＞2 ，從而可證明．
【考點精析】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用的相關知識點，需要掌握用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”才能正確解答此題．