Question

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓的方程為，且直線與以原點為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓相切．

（1）求的值；

（2）若橢圓左右頂點分別為，過點作直線與橢圓交于兩點，且位于第一象限，在線段上．

①若和的面積分別為，問是否存在這樣的直線使得？請說明理由；

②直線與直線交于點，連結，記直線的斜率分別為，求證：為定值．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）①不存在滿足條件的直線，理由詳見解析；②詳見解析．

【解析】

（1）利用直線與圓相切可構造方程求得；

（2）由（1）得到橢圓方程和坐標；

①將直線方程與橢圓方程聯立可得到韋達定理的形式，同時根據位于第一象限可構造不等式組求得的范圍；利用可構造方程求得，可知所求不滿足所求范圍，知直線不存在；

②利用三點共線和三點共線可利用表示出，同韋達定理一起代入，整理可得定值.

（1）由題意知：直線與圓相切，

圓心到直線的距離，；

（2）由（1）知：橢圓方程為，則，，

①易知直線的斜率不為零，設直線，，，

則將直線與橢圓聯立整理得：，

，解得：；

，即，解得：或，

這與不符，所以不存在滿足條件的直線；

②設，由三點共線知：，

由三點共線知：，，，

，

由①知：，

，則為定值.