Question

A有一只放有x個紅球，y個白球，z個黃球的箱子，且x+y+z=6（x，y，z∈N），B有一只放有3個紅球，2個白球，1個黃球的箱子，兩人各自從自己的箱子中任取一球，規定：當兩球同色時A勝，異色時B勝；
（1）用x，y，z表示A勝的概率；
（2）若又規定當A取紅、白、黃球而勝的得分分別為1、2、3分，否則得0分，求A得分的期望最大值及此時x，y，z的值．

Answer 1

解：（1）∵P（A勝）=P（A、B均取紅球）+P（A、B均取白球）+P（A、B均取黃球）
又∵A有一只放有x個紅球，y個白球，z個黃球的箱子，且x+y+z=6
B有一只放有3個紅球，2個白球，1個黃球的箱子
∴P（A勝）==（3x+2y+z）
（2）設A的得分為隨機變量ξ，則
P（ξ=3）=，

，


∵x，y，z∈N且x+y+z=6又0≤3x+2y+z≤36
∴當y=6時，Eξ取值最大值為，此時x=z=0
分析：（1）由已知中當兩球同色時A勝，根據A有一只放有x個紅球，y個白球，z個黃球的箱子，且x+y+z=6（x，y，z∈N），B有一只放有3個紅球，2個白球，1個黃球的箱子，代入相互獨立事件概率計算公式，即可得到答案．
（2）由當A取紅、白、黃球而勝的得分分別為1、2、3分，否則得0分，我們分別設A的得分為隨機變量ξ，則我們可得隨機變量ξ的取值可能為3，2，1，0，求出其分布列后，代入數學期望公式，即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是概率的應用，隨機變量的分布列與隨機變量的數學期望，其中（1）的關鍵是根據題意得到：P（A勝）=P（A、B均取紅球）+P（A、B均取白球）+P（A、B均取黃球）；（2）的關鍵是求出隨機變量ξ的分布列．