Question

已知等腰直角三角形AOB中，AC、BD為中線，求

AC

與

BD

夾角θ的余弦值．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是平面向量的數量積運算及兩個向量的夾角，為了便于運算，我們可以構造坐標系，給出三角形各頂點的坐標，然后利用平面向量的坐標運算代入公式，易得結果．

解答：解：如圖，分別以等腰直角三角形AOB的兩直角邊為x軸、y軸建立直角坐標系，
設A（2a，0），B（0，2a），
則D（a，0），C（0，a），（a＞0）；
∴

AC

=(-2a，a)，

BD

=(a，-2a)，
∵

AC

與

BD

的夾角為θ，
∴cosθ=

AC • BD

| AC || BD |

=

(-2a，a)•(a，-2a)

5 a• 5 a

=

-4a2

5a2

=-

4

5

，
即

AC

與

BD

夾角θ的余弦值為-

4

5

點評：若θ為

a

與

b

的夾角，則cosθ=

a • b

| a |•| b |

，這是利用向量求角的唯一方法，要求大家熟練掌握．