Question

5．長(zhǎng)方體有三個(gè)面的面積分別是12，15，20，且長(zhǎng)方體的8 個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球的表面積是50π．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可得長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)，再結(jié)合題意與有關(guān)知識(shí)可得外接球的直徑就是長(zhǎng)方體的對(duì)角線，求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線，即可得到球的直徑，進(jìn)而根據(jù)球的表面積公式求出球的表面積．

解答 解：因?yàn)殚L(zhǎng)方體相鄰的三個(gè)面的面積分別是12，15，20，
∴長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別是3，4，5，
又因?yàn)殚L(zhǎng)方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，
所以長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是圓的直徑，
因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)是：$\sqrt{9+16+25}$=5$\sqrt{2}$，
球的半徑是：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
這個(gè)球的表面積：4$π•（\frac{5\sqrt{2}}{2}）^{2}$=50π
故答案為50π．

點(diǎn)評(píng) 解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握常用幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的內(nèi)接多面體的有關(guān)知識(shí)，球的表面積公式，而解決此題的關(guān)鍵是知道球的直徑與長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，考查計(jì)算能力，空間想象能力，此題屬于基礎(chǔ)題．